高考在线
高考在线 >教案

六年级数学《分数基本性质的地位与作用》教案

2023-08-13 13:03:08 高考在线

六年级数学《分数基本性质的地位与作用》教案

　　分数基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

　　根据分数的基本性质，我们能够把任何一个分数变换成另一个分数单位的等值分数。也就是说，分数基本性质解决了分数单位的换算问题。统一了分数单位，异分母的分数才能进行加减运算。

　　例如，＋＝＋

　　＝×2＋

　　＝×（2＋1）

　　＝。

　　在分数的运算中，把异分母分数变成同分母的分数的过程，叫通分；通分是把较小的分数单位变换为较大的分数单位。在分数的运算中，有时也需要把较大的分数单位变换成较小的分数单位，这个过程叫约分。

　　例如，×＝

　　＝

　　＝。

　　通分和约分的理论根据都是分数的基本性质。

　　分数基本性质还是分数集合分类的一个标准。根据分数基本性质，可以把分数集合中所有等值分数都归为一类，于是分数集合就被分成无数个这样的等值分数的类别。如，上述和属于同一类，和属于同一类。

　　在分数集合的每一个等值分数的类别中，都有且只有一个最简分数。所谓最简分数，就是它的分子和分母除1以外再也没有其他的`公因数了。如，上述、都分别是它们所在的等值分数类别中的最简分数。

　　在分数集合中，最简分数就是每一个等值分数类别的代表。确定这一个代表的重要意义是，确保分数运算与自然数运算一样，运算结果具有单值性（唯一性）。这就是为什么要对运算结果进行约分，直到最简分数为止。

　　小数单位0.1、0.01、......分别与分数单位、、......是等价的，小数是特殊的分数。小数与分数可以互相转化。

　　例如，把0.25化为分数。

　　方法1：（根据小数的意义）

　　0.25＝0.01×25

　　＝×25

　　＝

　　＝。

　　方法2：（把小数视为分母是1的分数）

　　0.25＝

　　＝

　　＝

　　＝。

　　方法1和方法2中，每一步都是可逆的，所以如果把化为小数，也有与上述对应的两种方法。此外，把分数化为小数还可以直接利用除法，即＝1÷4＝0.25。

　　在上述两种方法中，分数的基本性质都发挥了作用。

　　分数基本性质与商不变规律，事实上是从不同的形式表示相同的规律。本质相同而形式不同，主要是适应不同的情境。所以，从商不变规律的重要性亦可反观分数基本性质的重要性。

　　遇到小数除法，根据商不变规律可以转化为整数除法，从而以整数除法为基础把把小数除法与整数除法统一起来。

　　例如，2.4÷0.4＝(24×0.1)÷(4×0.1)＝24÷4＝6；

　　或者，2.4÷0.4＝(2.4×100)÷(0.4×100)＝24÷4＝6.

　　如果把2.4÷0.4写成分数形式，也未尝不可，不过将出现被称为“繁分数”的分数形式。把繁分数化为简单分数，也必须根据分数的基本性质。

　　例如，＝

　　＝

　　＝6.

　　有了“商不变规律”，在算式的等值变形中可以避免出现繁分数的形式，所以繁分数的概念很早以前就已经不出现在小数数学的教科书中了；即使出现了“繁分数”，我们就把它当作一般分数来对待，也不必专门为之增加一个新名称。

　　当沟通了分数、除法与比的本质的联系后，我们可以想到，其实比也有一个与分数基本性质等价的基本性质。即比的前项与后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

　　根据比的这一基本性质，比可以进行等值变形。在比的实际应用中，如果不掌握比的等值变形，就会寸步难行。不过，比的等值变形不能局限于比的化简。在笔者《分数认识的三次深化与发展》一文中，已经说明把按比分配转化为分数问题来解决的时候，事实上要把整数比转化为分数比的形式，而且这些表示部分与整体关系的分数的总和还必须等于1（即部分之和等于整体）。

　　下面再看两个实例，进一步体会比的必要性。

　　例1一种混凝土是由水泥、沙子和石子混合成的，其中水泥与沙子的比是1︰1.5，沙子与石子的比是1︰。这种混凝土中水泥、沙子和石子的比是多少？

　　问题中两个已知的比，分别表示混凝土中两个成分的比，而且这两个比的基准不一致。解决这个问题的关键是统一比的基准。因为这两个比中都含有沙子的成分，所以选择沙子为统一的基准，就能把两个比统一起来。

　　解：水泥︰沙子＝1︰1.5＝10︰15＝︰1；

　　沙子︰石子＝1︰。

　　所以，水泥︰沙子︰石子＝︰1︰＝2︰3︰5。

　　当某种混合物的成分多于两种，并要表示它各种成分之间的倍比关系时，比的表示形式就得天独厚志显示出它的优越性。

　　例2（阿拉伯民间流传的数学故事）有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的、、。儿子们想来想去没法分：他们所得的都不是整数，即分别为、和，总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来了自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的就是6匹，老二得12匹的就是3匹，老三得12匹的就是2匹，还剩一匹我照旧牵回家去。”这样把分的问题解决了。

　　学习比的知识，我们都会变得和阿拉伯兄弟的那个邻居一样聪明。这个知识就是比的等值变形。

　　解：︰︰＝（×12）︰（×12）︰（×12）

　　＝6︰3︰2，

　　而且6＋3＋2＝11。

　　所以，老大、老二、老三分别分得的马分别是6匹、3匹和2匹。

　　这位阿拉伯邻居一定是一名优秀教师，他善于把上述抽象的演算过程直观地表现出来。他牵来自己的一匹马，凑成12匹马，这个12恰是这三个分数分母的最小公倍数，这个数也是把这三个分数的比化为整数比的关键所在。

　　综上，可以看到分数基本性质的重要地位和作用：

　　⒈是把分数从一个分数单位换算为另一个分数单位的基础；

　　⒉是分数的通分与约分的根据，也是一些算式等值变形的重要途径之一；

　　⒊是分数集合被分成等值分数类别的分类标准，在每一个类别中都有且只有一个最简分数，使得分数运算的结果具有唯一性。