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高中数学立体几何知识点归纳

2023-08-06 00:37:54 高考在线

高中数学几何知识点总结

数学知识点1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图

是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

数学知识点2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。

数学知识点3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高中数学立体几何知识点

1空间几何体的结构特征

多面体 ①棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形

③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形 旋转体 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到

③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到

④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到

[探究] 1有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?

提示：不一定。如图所示，尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行。

2中心投影与平行投影

平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线相交于一点。在平行投影中投影线垂直于投影面的.投影称为正投影。

3三视图与直观图

三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等 直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是：①画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，已知图形中平行x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴的线段。已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。

②画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变[探究] 2。正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗?

提示：由于正视图的方向没确定，因此正视图、侧视图、俯视图不一定相同。

高中数学几何知识点

一 、空间几何体

(一)棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：一般地，由一个 沿某一方向 形成的空间几何体叫做棱柱。

(1)棱柱的底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质

(2)直棱柱、正棱柱、平行六面体的概念

2、棱锥： 叫做棱锥。

(1)棱锥的底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质

(2)正三棱锥与正四面体的概念

3、棱台： 叫做棱台。

(1)棱台的上下底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质

(2)正棱台的概念

(3)棱台的检验方法(侧棱延长交于一点，上下底面相似且平行)

(二)圆柱、圆锥、圆台、球

1、旋转面：一般地，一条 绕 旋转所形成的 2、旋转体： 叫做旋转体。

3、圆柱、圆锥、圆台：将 、 、 分别绕它的 、 、 、所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

(1)圆柱、圆锥、圆台的轴、底面、侧面、母线

(2)利用“平移”、“缩”、“截”的方法定义棱柱、棱锥、棱台

4、球面： 叫做球面。

球体： 叫做球体，简称球。

5、圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面与旋转面的关系

(三)直观图画法

1、消点：

2、直观图画法步骤：

二 、点、线、面之间的位置关系

1、 平面基本性质

公理1 如果一条直线上的 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么他们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

公理3 经过 的三点，有且只有一个平面。

(2) 线面垂直：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，称为线面垂直，记作 ，垂线、垂面、垂足。

(3) 面面平行：如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面平行。

面面垂直：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，3、 线线关系 位置关系

相交直线

平行直线

异面直线 共面关系 公共点个数

4、 线面关系 位置关系

公共点

符号表示

图形表示 直线 在平面 内

直线 与平面 相交 直线 与平面 平行

5、 面面关系

图形表示

6、 各类“平行”之间的转化 条件

线线平行

结论

如果 ‖b，b‖c，

那么 ‖c

如果 ‖b， ，b，

那么 ‖

如果，b，

面面平行 ∩b=P，cβ， 如果 ，如果 ‖β，如果 ⊥ ， ⊥β，如果 ‖ ， β，β∩=b，那么 ‖b 线面平行 面面平行 如果 ‖β， 垂直关系 线线平行 ∩γ=，β∩γ=b，那么 ‖b 如果 ‖β， ，那么 ‖β 如果 ⊥ ，b⊥ ，那么 ‖b 线面平行 —— —— b ,∩b=P,‖β,b

‖β，那么 ‖β β‖γ，那么 ‖γ 那么 ‖β

d β，c∩d=Q,‖c，

b‖d，那么 ‖β

7、 各类“垂直”之间的转化条件

线线垂直

结论

如果 ⊥ ，b，那么⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直

如果 ⊥β

那么 ⊥β

如果 ⊥ ， β，那么β⊥ —— ，如果 ‖b， ⊥c，那么b⊥c 线面垂直 面面垂直 平行关系 线线垂直 —— 线面垂直 如果 ⊥b， ⊥c，b，c，b∩c=P，那么 ⊥ 定义(二面角等于90) 0α∩β=b， ,⊥b，如果 ⊥ ，b‖ ，那么b⊥ 面面垂直 ——

8、 立体几何中的“角”

(1) 异面直线所成的角：将两异面直线平移得到两相交直线，这两条香蕉直线所成的锐角或直角就是这两条异面直线所成的角。

①范围 ;②如何找异面直线所成的角：找异面直线的平行线。

(2) 线与面所成的角：直线与在该平面内的射影所成的角。

①范围 ;②如何找线面角：找直线的射影。

(3) 面与面所成的角(二面角)

二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角。

①范围 ;②如何找面面角：找棱上的垂线。

9、 立体几何中的“距离”

(1) 点面距：从平面外一点引平面的垂线，叫做这个点到这个平面的距离。

(2) 线面距：直线与平面平行，那么直线上任意一点到到平面的距离(都相等)称为直线到平面的距离。

(3) 面面距：两平面平行，那么任一平面上的任意一点到另一平面的距离(都相等，

亦即公垂线段)称为两个平行平面间的距离。

公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线。

注：①“平行”才谈距离;②线面距、面面距都要转化为点面距。

一、 平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2. 两个平面可将平面分成3或4部分.(①两个平面平行，②两个平面相交)

3. 过三条互相平行的直线可以确定个平面.(①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行)

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.

4. 三个平面最多可把空间分成部分.(X、Y、Z三个方向) 二、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内

[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线(×).(可能两条直线平行，也可能是点和直线等)

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.

④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.

⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形)

⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段)

⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面.

2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)

3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图).

(二面角的取值范围 )

(直线与直线所成角 )

(斜线与平面成角 )

(直线与平面所成角 )

(向量与向量所成角)

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等.

5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.

空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直.

是异面直线，则过 外一点P，过点P且与 都平行平面有一个或没有，但与 距离相等的点在同一平面内. ( 或 在这个做出的平面内不能叫 与 平行的平面)

三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.