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初中数学二次函数基本知识点整理归纳

2023-08-11 03:42:55 高考在线

二次函数基本知识点

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

二次函数的三种表达式

①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)

以上3种形式可进行如下转化：

①一般式和顶点式的关系

对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b^2)/4a

②一般式和交点式的关系

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)