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高中数学必修四重要公式归纳

2023-08-12 11:08:53 高考在线

高中数学必修四诱导公式

公式一：

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二：

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

高中数学必修四向量公式

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(_+_，y+y)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即共同起点，指向被减

a=(_,y) b=(_,y) 则 a-b=(_-_,y-y).

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉[0，]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉;若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：ab=__+yy。

向量的数量积的运算率

ab=ba(交换率);

(a+b)c=ac+bc(分配率);

向量的数量积的性质

aa=|a|的平方。

ab 〈=〉ab=0。

|ab||a||b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc);例如：(ab)^2a^2b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。

3、|ab||a||b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、数乘向量

实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

当0时，a与a同方向;

当0时，a与a反方向;

当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.

数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.

数乘向量的消去律：① 如果实数0且a=b，那么a=b。② 如果a0且a=a，那么=。

高中数学必修四公式

平方关系：

sin^2α+cos^2α=1

1+tan^2α=sec^2α

1+cot^2α=csc^2α

积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

倒数关系：

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

[1]三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A2+B2)^(1/2)

cost=A/(A2+B2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)]

三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)

cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)

tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

降幂公式

sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]

cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos2α

1-cos2α=2sin2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2

其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π_2/n)+sin(α+2π_3/n)+……+sin[α+2π_(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π_2/n)+cos(α+2π_3/n)+……+cos[α+2π_(n-1)/n]=0 以及

sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cos_+cos2_+...+cosn_= [sin(n+1)_+sinn_-sin_]/2sin_

证明：

左边=2sin_(cos_+cos2_+...+cosn_)/2sin_

=[sin2_-0+sin3_-sin_+sin4_-sin2_+...+ sinn_-sin(n-2)_+sin(n+1)_-sin(n-1)_]/2sin_ (积化和差)

=[sin(n+1)_+sinn_-sin_]/2sin_=右边

等式得证

sin_+sin2_+...+sinn_= - [cos(n+1)_+cosn_-cos_-1]/2sin_

证明:

左边=-2sin_[sin_+sin2_+...+sinn_]/(-2sin_)

=[cos2_-cos0+cos3_-cos_+...+cosn_-cos(n-2)_+cos(n+1)_-cos(n-1)_]/(-2sin_)

=- [cos(n+1)_+cosn_-cos_-1]/2sin_=右边

等式得证