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初中数学圆锥考点归纳

2023-08-18 06:24:38 高考在线

圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。

S=πRx2(n/360)+πrx2或(1/2)αRx2+πrx2(此n为角度制,α为弧度制,α=π(n/180)

一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积.

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h)，得出圆锥体积公式：

V=1/3Sh(V=1/3SH)

S是底面积，h是高，r是底面半径。

圆锥曲线7大题型汇总

1、直线与圆锥曲线位置关系

这类问题主要采用分析判别式，有

△>0，直线与圆锥曲线相交;

△=0，直线与圆锥曲线相切;

△<0，直线与圆锥曲线相离.

若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.

注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题

这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题

弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：

4、定点、定值问题

(1)定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算;

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

5、最值、参数范围问题

这类常见的解法有两种：几何法和代数法.

(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法;

(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;

(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

6、轨迹问题

轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

定义法：

(1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义;

(2)设标准方程，求方程中的基本量

(3)求轨迹方程

相关点法：

(1)分析题目：与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线上;

(2)寻求关系式，x0=f(x，y)，y0=g(x，y);

(3)将x0，y0代入已知曲线方程;

(4)整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。

参数法求轨迹的一般步骤：

(1)选取参数k，用k表示动点M的坐标;

(2)得动点M的轨迹的参数方程

(3)消去参数k得的M轨迹方程;

(4)由k的范围确定x，y的范围，确保答案的准确性和完备性。

7、探索型，存在性问题

这类问题通常先假设存在，然后进行计算，最后再证明结果满足条件得到结论。对于较难的题目，可从特殊情况入手，找到特殊点进行分析验算，然后再得到一般性结论。

必考圆锥曲线题型

一、考查目标：

1、熟练掌握三大曲线的定义和性质;

2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;

3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

二、相关知识考查：

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

常规七大题型：

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点构成的三

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围;对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

最值问题的处理思路：

1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围;

2、数形结合，用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

(6)存在性问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

角形问题，常用正、余弦定理搭桥

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

四、解题的技巧方面：

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。