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中考数学重点直线与圆三篇

2023-08-17 17:12:25 高考在线

初中数学知识点：圆

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

相关定义:

1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。

4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。

5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

12 圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但不等于0。

圆的集合定义：

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

圆的字母表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。

圆—⊙ ;

半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);

弧—⌒ ;

直径—d ;

扇形弧长—L ;

周长—C ;

面积—S。

圆的性质:

(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

(2)有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

(3)有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)。

④两相切圆的连心线过切点。(连心线：两个圆心相连的直线)

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

初中数学知识点：圆

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

优弧：大于半圆的弧(多用三个字母表示);

劣弧：小于半圆的弧(多用两个字母表示)

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

1、弦：连接圆上任意两点的线段。

2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

优弧：大于半圆的弧(多用三个字母表示);

劣弧：小于半圆的弧(多用两个字母表示)

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

6、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等;

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

圆心角特征识别:

①顶点是圆心;

②两条边都与圆周相交。

计算公式:

①L(弧长)=n/180Xπr(n为圆心角度数，以下同);

②S(扇形面积) = n/360Xπr2;

③扇形圆心角n=(180L)/(πr)(度)。

④K=2Rsin(n/2) K=弦长;n=弦所对的圆心角，以度计。

圆心角定理:

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

理解：(定义)

(1)等弧对等圆心角

(2)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.

(3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.

(4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.

推论：

在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

与圆周角关系:

在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。

定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。

圆周角定理推论：

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。)

④半圆(或直径)所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。

初中数学知识点：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r;< p="">

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。(d为圆心到直线的距离)

直线与圆的三种位置关系的判定与性质：

(1)数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r; 直线l与⊙o相切d=r; 直线l与⊙O相离d>r;

(2)公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。直线l与⊙O相交d<r2个公共点; 直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点; 直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

圆的切线的判定和性质

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

直线与圆的三种位置关系的判定与性质：

(1)数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r; 直线l与⊙o相切d=r; 直线l与⊙O相离d>r;

(2)公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。

圆的切线的判定和性质

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

直线与圆的位置关系判定方法:

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程

如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：< p="">

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;

当x1<x=-c p="" a<x2时，直线与圆相交。