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完全平方公式的知识点及题目三篇

2023-08-03 11:31:34 高考在线

完全平方公式的公式特征

(一)学会推导公式：

(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;

(二)学会用文字概述公式的含义:

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

(三)这两个公式的结构特征：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;

2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).

3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.

完全平方公式运用公式常规四变

运用公式常规四变

一、变符号：

例1：运用完全平方公式计算：

(1)(2y+3x)^2　(2)3(3x+4y)^2

分析：本例改变了公式中a、b的符号，

处理

方法一：把两式分别变形为再用公式计算(反思得：)

方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算

方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆)。

二、变项数：

例2：计算：

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。

三、变结构

例3：运用公式计算：

(1)(x+y)(2x+2y)

(2)(a+b)(-a-b)

(3)(a-b)(b-a)

分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即

(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2

(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2

(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2

四、简便运算

例4：计算：

(1)999^2

(2)100.1^2

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。

即：(1)(1000-1)的平方。(2)(100+0.1)的平方

完全平方公式练习题

下面是完全平方公式的灵活运用，恒等变形，非负性的相应练习题。有兴趣的同学可以做一做。

①计算 (-12.3)2-24.6×(-77.7)+777×7.77

②已知2x-2y=a,xy=b，用a，b的代数式表示x2+y2

③已知a-3b=6，ab=2，求(a+3b)2的值

④已知4a2+9b2+|a+3|-12ab=0，求a2+b2的值

⑤ 已知3x - 1/x =4 ，求9x2+1/x2的值。

⑥已知(x-2020)2+(2021-x)2=25，求(x-2020)(2021-x)的值。

①答案：8100

解析：利用完全平方公式

原式=12.32+2×12.3×77.7+77.72=(12.3+77.7)2=902=8100

②答案：0.25a2+2b

解析：2x-2y=a可得x-y=0.5a，想表示x2+y2可以想到(x-y)2

x2+y2=x2-2xy+y2+2xy=(x-y)2+2xy=(0.5a)2+2b=0.25a2+2b

③答案：60

解析：(a+3b)2=(a-3b)2+12ab=62+24=60

④答案：13

解析：原式=(2a)2-2(2a)(3b)+(3b)2+|a+3|=(2a-3b)2+|a+3|=0

根据平方的非负性，绝对值的非负性，可知2a-3b=0;a+3=0

解得a=-3，b=-2，所以a2+b2=13

⑤答案：22

解析：容易看出9x2是3x的平方，1/x2是1/x的平方，所以可以利用完全平方公式的变形公式：a2+b2=(a+b)2-2ab。

9x2+1/x2=(3x - 1/x)2+ 2(3x)(1/x)=42+6=22

⑥答案：-12

解析：为了简化运算，设x-2020=a，2021-x=b，可知a+b=1(这是一个隐藏的条件，要把它挖掘出来)

即a2+b2=25，a+b=1，求ab的值

2ab=(a+b)2-(a2+b2)=1-25=-24

所以ab=-12