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数学中考之三角形性质定理三篇

2023-08-14 11:18:28 高考在线

初中数学知识点：三角形的周长和面积

构成三角形的元素：

边：组成三角形的线段叫做三角形的边;

顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;

内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

三角形有下面三个特性：

(1)三角形有三条线段;

(2)三条线段不在同一直线上;

(3)首尾顺次相接。

三角形的表示：

用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

三角形的三边关系：

在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

设三角形三边为a,b,c

则

a+b>c

a+c>b

b+c>a

a-b

a-c

b-c

在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

则两直角边的平方和等于斜边平方。

在等边三角形中，a=b=c

在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b

在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc

三角形的三边关系定理及推论：

(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

(2)三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形;

②当已知两边时，可确定第三边的范围;

③证明线段不等关系。

三角形的周长和面积：

三角形的周长等于三角形三边之和。

三角形面积=(底×高)÷2。

初中数学知识点：三角形的角和定理

三角形的内角和定理及推论：

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

(1)直角三角形的两个锐角互余。

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。

三角形的外角：

三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角特征：

①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点;

②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边;

③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。

性质：

①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

④. 三角形的外角和等于360°。

设三角形ABC 则三个外角和=(A+B)+(A+C)+(B+C)=360度。

定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

定理：三角形的三个内角和为180度。

初中数学知识点：三角形

三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

高线：

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

线段的垂直平分线：

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明

巧计方法：点到线段两端距离相等。

三角形中线性质定理：

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：

ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ;

mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ;

mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长)

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

角平分线线定理：

定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部(包括顶点)，且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

注：定理2的逆命题也成立。

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等!(即内心)。

垂直平分线的性质：

1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

垂直平分线的尺规作法：

方法一：

1、取线段的中点。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直等分底边。

方法二：

1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。

2、连接这两个交点。原理：两点成一线。

垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)