高考在线
高考在线 >中考

整式的乘法与因式分解三篇

2023-08-02 07:19:00 高考在线

初中数学八年级上册整式的乘法与因式分解

一、整式的有关概念

1.整式

整式是单项式与多项式的统称.

2.单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子;单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数.

3.多项式

几个单项式的和叫做多项式;多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.

二、整数指数幂的运算

1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。

注：(1)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1;

(2)任何一个不等于零的数的-p(p为正整数)指数幂，

等于这个数的p指数幂的倒数。

(3)科学记数法

绝对值小于1的数可记成的形式，其中n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)。

三、同类项与合并同类项

1.所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项.

2.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.

四、求代数式的值

1.一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值.

2.求代数式的值的基本步骤：

(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入;

(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果.

五、整式的运算

1.整式的加减

(1)整式的加减实质就是合并同类项;

(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号;有同类项，再合并同类项.注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号.

2.整式的乘除

(1)整式的乘法

①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

②单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc.

③多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.

(2)整式的除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

②多项式除以单项式：(a+b)÷m=a÷m+b÷m.

3.乘法公式

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

六、因式分解

1.因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.

2.因式分解的方法

(1)提公因式法

公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数);第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母);第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂).

数学乘法与因式分解

1.同底数幂的乘法与幂的乘方的区别

2.积的乘方运算的方法

积的乘方运算是把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，在运算中不要漏掉某个因式，同时要注意符号问题。

3.单项式与单项式相乘的步骤

(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;

(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加;

(3)只在单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里。

4.单项式除以单项式的运算步骤

(1)把系数相除，所得结果作为商的系数;

(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的一个因式;

(3)只在被除式里出现的字母，要连同它的指数作为商的一个因式。

5.多项式除以单项式的运算中应注意的问题

(1)多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号;

(2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项。

(3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验。

6.平方差公式的特点

(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数;

(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;

(3)公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式。

7.完全平方公式的特点

(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个"符号"不同;

(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中有两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的值2倍，两者也仅有一个"符号"不同。

8.利用乘法公式求解方程或不等式的思路

解涉及乘法公式的方程或不等式的题目时，要先运用平方差公式、完全平方公式，将原方程或不等式化简，然后求解。

9.确定公因式的方法

(1)确定公因式的系数:当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数，当多项式中各系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数;

(2)确定相同字母:公因式应取多项式各项中相同的字母;

(3)确定公因式中相同字母的指数:取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数;

(4)确定公因式:由步骤(1)~(3)写出多项式的公因式。

10.提公因式法的一般步骤

(1)确定公因式:先确定系数，再确定字母和字母的指数;

(2)提公因式并确定另一个因式:用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式;

(3)把多项式写成这两个因式积的形式。

11.用提公因式法分解因式的口诀

公因式，要提取，公约数，取大值;公有字母提出来，字母次数要最低;原式除以公因式，商式写在括号里。

数学公式乘法与因式分解公式

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

1、了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间可以相互转化的思想.

2、会推导乘法公式：( a + b )( a - b )= a2 - b2 ;( a±b ) 2 = a2±2ab + b2 ;了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形

3、经历观察、思考、交流、探究等数学活动过程，体验解决问题的策略，进一步发展学生归纳、类比、概括能力，发展学生有条理地思考与表达能力.

4、会用提公因式法、公式法进行因式分解.

5、体会比较、转化、分类的思想方法，在探索因式分解的应用。

教与学重点难点：

重点：乘法公式与因式分解

难点：因式分解的应用。

中考中主要考察因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形。

教与学方法：

引导、探究、归纳与练习相结合 2a + b )( a + b )= 2a2 + 3ab + b2 就可以用图或图形的面积表示.

( 1 )请写出图 3 所表示的代数恒等式.

( 2 )试画出一个几何图形，使它的面积能表示：( a + b )( a + 3b )= a2 + 4ab + 3b2 .

( 3 )请仿照上述方法另写一个含有 a ， b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.

解：( 1 )( 2a + b )( a + 2b )= 2a2 + 5ab + 2b2 .

( 2 )答案不唯 — ，如( a + 2b )( a + b )= a2 + 3ab + 2b2 ，与之对应的几何图形如图 5 所示.

因式分解的技巧

例二、已知 a 、 b 、 c 为有理数，且 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ，试说出 a 、 b 、 c 之间的关系，并说明理由.

解：∵ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

∴ a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0

∴ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0

∴ ( a2 - 2ab + b2 )+ ( a2 - 2ca + c2 )+( b2 - 2bc + c2 )= 0

∴ ( a - b ) 2 +( a - c ) 2 +( b - c ) 2 = 0

∴ a - b = 0 且 a - c = 0 且 b - c = 0

∴ a = b = c

因式分解的应用

例三、若a+b=4,则2a2+4ab+2b2-6的值为( )

A.36 B.26 C.16 D.2

思路分析：2a2+4ab+2b2-6=2(a+b)2-6=2×42-6=26

答案：B